YLE/Tänään iltapäivällä, 26.11.2004

Maailma ja maailmankuva, osa 1: Matematiikka

Hannu Reime         

Tänään iltapäivällä –lähetyksissä ja Ykkösaamuissa on vuoden aikana kuultu ohjelmia Euroopan ja maailman kielistä. Hannu Reime laajentaa nyt toimittamansa sarjan aiheet tietoa ja maailmankatsomusta koskeviin kysymyksiin. Uuden sarjan ”Maailma ja maailmankuva” ensimmäisessä osassa haastatellaan Helsingin yliopistossa opettavaa Juha Oikkosta, joka kertoo matematiikasta.

HR: Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitos sijaitsee uusissa hienoissa tiloissa Kumpulassa lähellä paikkaa, jonne kaupunki aikoinaan perustettiin. Suosittu luennoitsija, dosentti Juha Oikkonen opettaa siellä. Hänen erikoisalaansa on matemaattinen logiikka, mutta sen rinnalla hän on kiinnostunut pedagogiikasta, opetuksesta aineessa, jota osa koululaisista kammoaa tai inhoaa ja osa pitää kaiken tietämyksen huippuna. Kun kysyin, mitä matematiikassa oikein tutkitaan, mitä matematiikka pohjimmiltaan on, Juha Oikkonen avaa asiaan kolme näkökulmaa:

JO: Se, miten matematiikka matematiikkaa opiskellessa usein näyttäytyy, on, että matematiikkaa tutkii aivan itse määrittelemiään omia maailmoja, mutta tämä on vain osatotuus, kylläkin hyvin tärkeä osuus sitä totuutta. Yhdestä vinkkelistä katsottuna matematiikka on oikeastaan äidinkielen jatke. Äidinkieli sisältää paljon tietoa ja ajattelua. Jos käytetään joitakin tavallisia sanoja kuten ”oikeudenmukaisuus” tai ”informaatio”, kun niitä käytetään, tarvitaan paljon tietoa ja ajattelua. Samalla tavalla matematiikassa on lukusanoihin, geometrian käsitteisiin tai monimutkaisempiin matemaattisiin olioihin on kietoutunut paljon ajattelua ja tietoa, joka sitten on kehitetty hyvin pitkälle. Ja kolmas näkökulma matematiikkaan on sitten se, että matematiikka on ihmisen yritystä vastata moniin joko arkielämän tai muiden tieteenalojen tarpeisiin, kysymyksiin jostakin lukumäärästä tai pinta-alan määrittämisistä tai nykypäivänä esimerkiksi fysiikan tai biotieteiden asettamista haasteista. Usein tämä tapahtuu vielä yhteydessä sitten näiden muiden tieteenalojen, tietojenkäsittelytieteen, fysiikan, kemian, biologian ynnä monen muun kanssa.

HR: Lähdetäänkö siinä luvuista ja kolmiulotteisesta avaruudesta?

JO: Tavallaan näistä lähdetään, koska meidän havaintomme koskettaa näitä kaikista lähimmin, ja sitten monimutkaisemmat matemaattiset oliot ovat syntyneet joko siten, että on mietitty kysymyksiä, jotka näihin yksinkertaisempiin asioihin liittyvät, ja kysymyksiin vastatessa on sitten tullut tarvetta ajatella mutkikkaampia maailmoja tai sitten vastaavasti muiden tieteenalojen ongelmia selvitettäessä on sitten syntynyt matematiikassa mutkikkaampia maailmoja. Mutta lähtökohtana on ihan tämä meidän perushavaintomme ja sen ajatteleminen.

HR: Siis luonnollisten lukujen nolla, yksi, kaksi jne. ja kolmiulotteisen avaruuden ajatteleminen. Ne vaikuttavat aika yksinkertaisilta asioilta, kun niitä vertaa rakenteisiin ja konstruktioihin, joita korkeammassa matematiikassa tutkitaan. Mutta ihminen on biologinen olento luonnollisessa maailmassa, ja, kuten Juha Oikkonen sanoo, kaikista matemaattisista olioista havaintomme koskettaa kaikkein lähimmin luonnollisia lukuja ja avaruutta, jossa on kolme ulottuvuutta: leveys, korkeus ja syvyys. On mielenkiintoista, että helsinkiläismatemaatikko kytkee tutkimusalansa niin läheisesti ihmiskieleen. Jotkut tutkijat ovat tehneet sellaisen oletuksen, että luonnollisten lukujen ymmärtämisen perustana olisi sama biologisesti määräytynyt kyky, joka antaa meille luonnollisen kielen. Samoin kuin kielessä ei ilmausten pituudella ole mitään periaatteellista ylärajaa, samoin luonnollisten lukujen joukko on, kuten sanotaan, potentiaalisesti ääretön. Äärettömyys kummittelee monessa nurkassa matematiikan suuressa talossa.

JO: Siitä matematiikka sanoo hyvin monta eri asiaa. Ensimmäinen, minkä haluaisin sanoa, on, että ei ole olemassa matematiikan vastausta siihen, mikä on äärettömyys. Meillä ihmisillä on ensinnäkin kaikilla hyvin monenlaisia ajatuksia äärettömyydestä. Moni meistä tuntee 5-6–vuotiaita lapsia, jotka ovat tavattoman kiinnostuneita äärettömyydestä ja pohtivat erilaisia jännittäviä asioita, saattavat käyttää siitä omia nimiä. Ehkä me olemme itsekin olleet sellaisia, ja lähes kaikki näistä ihmisten ideoista äärettömyydestä ovat sitten saaneet matemaattisen ilmentymismuodon, ja näin on syntynyt useita eri matematiikan aloja, tavallaan erilaisia matemaattisia äärettömyyden teorioita, ja nämä ovat keskenään hyvin erilaisia. Siinä mielessä ei voi sanoa, että yksi äärettömyyden teoria on oikea ja toinen väärä. Ne elävät rinnakkain ja kurottavat erilaisiin äärettömyyden ideoihin, ja niillä on erilainen rooli sitten muussa matematiikassa.

HR: Jos ajatellaan sellaista ääretöntä joukkoa kuin luonnollisten lukujen joukko, niin ajatteleeko matemaatikko, että tällainen ääretön joukko on olemassa, vai että se on jotakin, joka rakennetaan lisäämällä yksi koko ajan, suurentamalla lukua?

JO: Ensinnäkin jos me ajatellaan, että sitä rakennetaan lisäämällä luku toisensa jälkeen ilman, että meillä on koskaan sitä täyttä ääretöntä joukkoa, niin silloin ei ajatella äärettömyyttä, vaan, kuten usein sanotaan, potentiaalista äärettömyyttä. Uskon, että lähes kaikki matemaatikot kyllä ajattelevat luonnollisten lukujen joukkoa valmiina kokonaisuutena, mutta missä mielessä se heille on olemassa ja missä mielessä he vain ajattelevat ikään kuin se olisi olemassa, on sitten jo mutkikkaampi kysymys, ja itse asiassa kun tarkkailee matemaatikon toimintaa, niin se, että ovatko tällaiset äärettömät joukot tai muut tavattoman abstraktit oliot hänelle olemassa, vai toimiiko hän vain ikään kuin ne olisivat olemassa, niin ei sitä hänen toiminnastaan pysty erottamaan.

HR: Koskeeko tämä myös useampi- kuin kolmiulotteisia avaruuksia?

JO: Kyllä, paitsi, että jokin seitsemän- tai seitsemäntoistaulotteinen avaruus on tavallaan paljon konkreettisempi ja yksinkertaisempi asia kuin äärettömyys. Yksinkertaisesti 17-ulotteisen avaruuden piste koostuu 17:sta luvusta, jotka antavat sen kaikki 17 koordinaattia. Se on itse asiassa jotain tavattoman konkreettista, ja siitä puuttuu kaikki science fiction –elokuvien uusien ulottuvuuksien kaltainen mystiikka.

HR: Entä sitten äärettömän pieni?

JO: Äärettömän pieni on sellainen matemaattinen idea, joka on historiallisesti hyvin tärkeä, koska koulussakin opiskellun differentiaali- ja integraalilaskennan kehityksen takana se on ollut hyvinkin paljon. 1800-luvulla matematiikan perusteet kokivat suuren kriisin. Huomattiin, että matematiikka oikeastaan ei perustunut mihinkään, ja että se maailma, mitä matematiikassa tutkittiin, oli paljon mutkikkaampi kuin osattiin painajaisissakaan pelätä. Tämän kriisin ratkaisemiseksi sitten kehitettiin nerokkaita tapoja välttää esimerkiksi äärettömän pienestä puhuminen. Toisaalta myöhemmin matemaatikot ovat oppineet rakentamaan sellaisia matemaattisia maailmoja, joissa myöskin on olioita, joita hyvällä mielellä voi kutsua äärettömän pieniksi.

HR: Juha Oikkonen viittasi äskeisessä vastauksessaan matematiikan perusteiden kriisiin 1800-luvulla. Mistä kriisissä oli kysymys? Yleensähän on totuttu ajattelemaan, että matematiikka seisoo hyvin tukevalla perustalla.

JO: Se kriisi perustui siihen, että matematiikkaa oli parin edellisen vuosisadan aikana kehitetty suunnatonta vauhtia, niin suurta vauhtia, että siinä vauhdin hurmiossa kukaan ei oikein kiinnittänyt huomiota siihen, että miten asiat täsmällisesti perustetaan, miten käsitteet määritellään, ja yhtäkkiä sitten ensinnäkin havaittiin, että mitään perustaa ei ollut. Ja toisaalta, tuli esimerkkejä, jotka hämmensivät, eivät sopineet siihen, minkä kuviteltiin vallitsevan matematiikan maailmassa. Sen jälkeen sitten oltiin valmiita pelkäämään, että koska jos näin hirvittäviä esimerkkejä syntyy, niin jonakin päivänä joku romahduttaa ristiriidalla koko tämän meidän matematiikan maailmamme. Tätä sitten ratkottiin itse asiassa useassa eri vaiheessa. Ensimmäinen vaihe oli se, että opeteltiin määrittelemään käsitteet hyvin täsmällisesti, ja sitten pystyttiin todistamaan kaikki teoreemat huolellisesti, ja voitiin luottaa, että ne pitävät paikkansa. Tämä ei poistanut vielä huolta siitä, että olisiko matematiikka kenties ristiriitainen, ja sitä sitten sen ajan loogikot lähtivät tutkimaan ja kehittivät modernin matemaattisen logiikan myötänsä. Siellä sitten oli uljasta uskoa siihen, että oli ideoita siitä, miten voitaisiin matematiikan ristiriitaisuuden pelosta päästä eroon. Tämä uljas unelma romahti 1930-luvulla, kun Kurt Gödel –niminen loogikko todisti kuuluisat epätäydellisyyslauseensa, jotka osoittivat, että asia onkin perustavalla tavalla paljon mutkikkaampi, ja tänä päivänä on sitten opittu elämään sen kanssa, että matematiikan ristiriidattomuutta ei koskaan voi todistaa täysin luotettavasti, että meidän ainoastaan täytyy yrittää nöyrästi matematiikassa toimia mahdollisimman hyvin ja huolellisesti.

HR: Itävaltalaissyntyinen, Yhdysvalloissa vuonna 1978 kuollut Kurt Gödel oli viime vuosisadan merkittävimpiä matemaatikoita. Pyysin Juha Oikkosta kertomaan lyhyesti, mitä hän todisti epätäydellisyyslauseillaan?

JO: Ehkä kaikista lyhin selostus on, että siinä on kysymys siitä, että vaikka luonnolliset luvut nolla, yksi, kaksi, kolme jne. muodostavat tavallaan kaikista yksinkertaisimman matemaattisen äärettömän kokoelman, niin tämän lukujoukon ominaisuudet ovat monessa mielessä tavattoman mutkikkaat. Tarkoitan ominaisuuksilla sen kaikkien ominaisuuksien, kaikkien tosien ominaisuuksien ymmärtämistä. Tämä osittain liittyy siihen, että tänä päivänäkin matematiikassa on paljon vaikeita lukuteoreettisia kysymyksiä, jotka ovat olleet vuosisatoja parhaimmillaan avoinna.

HR: Palasin haastattelun lopussa vielä kysymykseen, jonka Juha Oikkonen otti alussa esille, nimittäin matematiikan ja luonnollisen kielen väliseen suhteeseen.

JO: Kieli on ajattelumme väline, ja matematiikka on tavallaan ajattelumme tiettyjen piirteiden vielä pitemmälle kehitetty väline. Samalla tavalla kuin kielessä monissa käsitteissä on mukana itse asiassa paljon tietoa ja ymmärrystä, niin matematiikka vain jatkaa tätä jonkin verran pitemmälle. Ja lisäksi matematiikka myöskin on meille samalla tavalla luonnollista kuin äidinkieli. Tässä mielessä esimerkiksi jos ajatellaan vaikkapa miten pienten lasten tai luokanopettajiksi opiskelevien koulutuksessa hahmoteltaisiin koko maailmaa ja kysyttäisiin, miten matematiikka sinne kuuluu, niin ei se istu tällaisten teemojen kuin yhteiskunta tai ympäristö tai luonto kohdalle kovinkaan hyvin. Lähinnä se on samassa kategoriassa kuin kieli ja kielenopinnot. Se on siinä mielessä hyvin intiimi. Se ei ole niinkään maailmankatsomusta kuin sitä, että keitä me maailmankatsojat olemme.

HR: Onko tässä taustalla se ajatus, että sekä matematiikka ja kielet ovat tavallaan vähän niin kuin välineaineina, tai ainakin tällainen vanha käsitys on koulussa ollut?

JO: Tästä on tavallaan kysymys ja ehkä myös siitä, että ne ovat aineita, jotka liittyvät siihen, miten meidän ajattelumme taikka kommunikointimme toimii.

HR: Juha Oikkosen käsitys saattaa olla sukua ajatukselle, jonka esitti kielisarjassa haastateltu bostonilainen matemaatikko/kielitieteilijä John Frampton. Hän sanoi, että luonnollisessa kielessä oppiminen tunkeutuu kielen formaaliseen, tiukkoja sääntöjä noudattavaan rakenteeseen. Näin kieli sitoo maailman, ottaa sen haltuunsa. Matematiikka vain jatkaa tätä maailman haltuunottoa.


Ks. myös:

[home] [focus] [archive]